附录 C：散射时间延迟 $κ (ω)$ 的证明

散射时间延迟

(Proof of Scattering Time Delay Function)

本附录证明微观粒子在相互作用区的“滞留时间“与几何路径的谱密度是等价的，即 $κ (ω)$ 函数的数学构造。

1. 散射矩阵与时间延迟

定义散射矩阵 $S (ω)$ 。Eisenbud-Wigner 时间延迟算符定义为：

$Q (ω) = - i S^{†} (ω) \frac{d S ( ω )}{d ω} (C.1)$

其迹 $tr Q (ω)$ 对应总的时间延迟。

根据散射理论中的 Birman-Krein 公式，散射矩阵的行列式与谱移函数 $ξ (ω)$ 相关：

$det S (ω) = e^{- 2 πi ξ (ω)}$

对两边求对数并微分，我们得到：

$\frac{1}{2 π} tr Q (ω) = - \frac{d ξ}{d ω} = ρ_{re l} (ω)$

其中 $ρ_{re l}$ 是相对态密度。

我们定义统一函数 $κ (ω)$ ：

$κ (ω) := \frac{1}{2 π} tr Q (ω) = \frac{d δ}{d ω} (C.2)$

这证明了：粒子在势阱中的滞留时间（Delay），严格等同于希尔伯特空间中几何相位随能量变化的绕转速率（Winding Rate）。这就是正文中“停留即存在“的数学基础。

对于势能 $V (x) = Ω δ (x)$ ，散射相移为 $tan δ (k) = - m Ω/ k$ 。

计算其时间延迟：

$Δ t (ω) = \frac{d δ}{d ω} = \frac{m ^{2} Ω}{k ( k ^{2} + m ^{2} Ω ^{2} )} (C.3)$

结果显示，在共振点附近，时间延迟出现峰值，对应粒子在微观层面的“几何打结“。