附录 B：Dirac-QCA 模型的色散关系与洛伦兹破坏

(Dispersion Relation and Lorentz Violation in Dirac-QCA)

本附录展示当我们将连续时空离散化为量子元胞自动机（QCA）时，洛伦兹不变性如何作为一种低能近似涌现，以及高阶修正项（$O(p^4)$）的来源。

1. 离散演化算符

考虑一维晶格，晶格常数为 $a$，时间步长为 $\Delta t$。定义单步演化算符 $U$ 为平移算符 $S$ 和硬币算符（内部旋转）$C$ 的乘积：

$$U=S(p)\cdot C(\theta )=\left(\begin{array}{cc}{e}^{ipa}& 0\\ 0& e^{-ipa}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -i\sin \theta \\ -i\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

其中 $\theta$ 与质量相关，$p$ 为动量。

2. 色散关系的推导

求解本征方程 $\det (U-e^{-i\omega \Delta t}I)=0$，我们得到严格的离散色散关系：

$$\cos (\omega \Delta t)=\cos (pa)\cos \theta$$

3. 连续极限与修正

在低能极限下（$p\ll 1/a$, $\omega \ll 1/\Delta t$），我们对余弦函数进行泰勒展开：

$$1-\frac{(\omega \Delta t{)}^2}{2}\approx (1-\frac{(pa{)}^2}{2})(1-\frac{{\theta }^2}{2})$$

保留二阶项，我们恢复了狄拉克方程 $E^2=c^2{p}^2+m^2{c}^4$（其中 $c=a/\Delta t$）。

但如果我们保留更高阶项，就会发现洛伦兹破坏项：

$$E^2\approx c^2{p}^2+m^2{c}^4-\alpha \frac{p^4}{M_{scale}^2}\text{(B.1)}$$

这里的 $p^4$ 项代表了晶格结构带来的几何饱和效应。由于该项是动量的四次方，在低能下极难观测，这解释了为什么宏观宇宙看起来如此光滑。