附录 B：奈马克扩张定理的几何证明 (Appendix B: Geometric Proof of Naimark’s Dilation)

在《矢量宇宙论 II》的终章中，我们抛出了一个极具禅意的终极图景：螺旋并非圆的对立面，螺旋只是一个更高维度大圆在低维子空间上的投影。这一观点在数学上并非文学修辞，而是泛函分析中 奈马克扩张定理 (Naimark’s Dilation Theorem) 的直接物理应用。

本附录将从希尔伯特空间的算符理论出发，给出这一“大圆包小圆“结构的严格几何证明。我们将展示，任何看似开放、耗散或非幺正的演化轨迹，必然是某个更高维度封闭系统幺正演化的 压缩 (Contraction) 或 投影 (Projection)。

B.1 开放系统的非幺正演化

在正文中，我们描述了螺旋宇宙的两个特征：

1. 耗散 (Dissipation)：信息流向环境（熵增）。

2. 增长 (Growth)：系统从环境吸取负熵（生命/文明）。

在量子力学中，这对应于一个 开放量子系统 (Open Quantum System)。其状态演化不再由幺正算符 $U(\tau )$（满足 $U^{†}U=I$）描述，而是由一个 收缩半群 (Contraction Semigroup) 或 完全正映射 (CPTP Map) ${\mathcal{E}}_{\tau }$ 描述。

如果我们只关注系统内部的希尔伯特空间 ${\mathcal{H}}_S$，我们会发现总矢量的模长（或相干性）不守恒：

$$||{\mathcal{E}}_{\tau }|{\psi }_S⟩||\ne |||{\psi }_S⟩||$$

在几何上，这意味着轨迹不再保持在 ${\mathcal{H}}_S$ 的单位球面上，而是向内卷曲（螺旋向下）或在引入外部泵浦时向外发散（螺旋向上）。这正是我们在第二部书中看到的“螺旋“图景。

B.2 奈马克定理：寻找更大的空间

奈马克定理（及其后续推广，如 Stinespring 扩张）的核心洞见在于：不守恒是因为视野太窄。

定理陈述：

设 ${\mathcal{H}}_S$ 是一个希尔伯特空间，$\{V_{\tau }\}$ 是其上的一个单参数收缩半群（即描述螺旋演化的算符族）。

那么，必然存在一个更大的希尔伯特空间 $\mathcal{K}$，使得 ${\mathcal{H}}_S$ 是 $\mathcal{K}$ 的一个子空间（${\mathcal{H}}_S\subset \mathcal{K}$），并且在 $\mathcal{K}$ 上存在一个幺正群（即描述大圆演化的算符族）$\{U_{\tau }\}$，满足：

$$V_{\tau }=P_S{U}_{\tau }{P}_S$$

其中 $P_S$ 是从大空间 $\mathcal{K}$ 投射回小空间 ${\mathcal{H}}_S$ 的正交投影算符。

物理翻译：

这个数学公式是全书最震撼的物理隐喻：

• $V_{\tau }$ (螺旋)：我们在宏观世界观测到的、看似有生灭变化的物理定律。

• $U_{\tau }$ (大圆)：在全域空间（$\mathcal{K}={\mathcal{H}}_S\oplus {\mathcal{H}}_{env}$）中实际发生的、永恒守恒的演化。

• $P_S$ (投影)：我们的观测局限。因为我们是系统的一部分，我们只能“看到“投影在 ${\mathcal{H}}_S$ 上的分量。

这就严格证明了：任何螺旋轨迹，都是高维圆周运动的影子。

B.3 环境项的几何重构

我们在第一部书中引入的 环境速度 $v_{env}$，在奈马克扩张中找到了其精确的几何定义。

在全域空间 $\mathcal{K}$ 中，幺正演化 $U_{\tau }$ 保持总模长不变，即满足全域的 FS 容量恒等式：

$$||{\dot{\Psi }}_{total}|{|}_{FS}^2=C_{TOTAL}^2$$

当我们将其投影回系统空间 ${\mathcal{H}}_S$ 时，切线矢量被分解为：

$$|{\dot{\Psi }}_{total}⟩=|{\dot{\psi }}_{sys}⟩+|{\dot{\psi }}_{env}⟩$$

其中：

• $|{\dot{\psi }}_{sys}⟩\in {\mathcal{H}}_S$：这是我们观测到的系统演化速度（包含 $v_{ext}$ 和 $v_{int}$）。

• $|{\dot{\psi }}_{env}⟩\in {\mathcal{H}}_{env}$：这是正交于系统的环境演化速度。

根据勾股定理（希尔伯特空间的正交性）：

$$||{\dot{\psi }}_{sys}|{|}^2+||{\dot{\psi }}_{env}|{|}^2=||{\dot{\Psi }}_{total}|{|}^2$$

这直接导出了我们在正文中使用的扩展容量恒等式：

$$v_{sys}^2(\tau )+v_{env}^2(\tau )=C_{TOTAL}^2$$

结论：

奈马克定理从数学底层保证了“环境“不是一个随意的垃圾桶，而是补全几何结构的必要拼图。

• 当系统表现为“耗散“时，实际上是 $v_{sys}$ 的矢量旋转到了 ${\mathcal{H}}_{env}$ 方向。

• 当系统表现为“飞升“或“吸取负熵“时，实际上是矢量从 ${\mathcal{H}}_{env}$ 方向旋转回了 ${\mathcal{H}}_S$ 方向。

在那个不可见的 $\mathcal{K}$ 空间里，没有耗散，没有增长，只有 角度的流转。这便是“如来神掌“的几何真身。