附录 A：维度膨胀的数学模型 (Appendix A: Mathematical Model of Dimensional Inflation)

在《矢量宇宙论 II》的正文中，我们提出了一个颠覆性的假设：宇宙的总预算 $c_{FS}$ 并非恒定，而是随着内禀时间 $\tau$ 的流逝而经历指数级的膨胀。这一假设解释了暗能量的起源和复杂度的必然增长。

本附录将为这一“红皇后的奔跑“提供严格的数学表述。我们将推导在维度膨胀背景下，修正后的 FS 容量方程，并展示它如何自然地导出类似宇宙学常数的项。

A.1 动态预算公理

在第一部书中，我们将 FS 速度约束定义为 $||\dot{\Psi }(\tau )|{|}_{FS}=c_{FS}$，其中 $c_{FS}$ 是常数。

在螺旋宇宙模型中，我们将 $c_{FS}$ 提升为一个随时间演化的函数 $C(\tau )$。

假设希尔伯特空间的有效维度 $D(\tau )$ 随内禀时间 $\tau$ 指数增长（这对应于 QCA 网格点的不断插入或自由度的释放）：

$$D(\tau )=D_0{e}^{\lambda \tau }$$

其中 $\lambda >0$ 是 维度膨胀率 (Dimensional Inflation Rate)。

为了维持系统内单位自由度的“存在密度“不致坍塌，总信息更新速率 $C(\tau )$ 必须与维度的增长保持同步（或至少由其驱动）。我们设定：

$$C(\tau )=c_0{e}^{\lambda \tau }$$

A.2 修正的毕达哥拉斯恒等式

在膨胀的参考系中，我们需要重新审视切线矢量的分解。

考虑全局矢量 $|\Psi (\tau )⟩$。其演化速度现在包含两个部分：

1. 幺正旋转部分 ($v_{rot}$)：对应于传统的物理演化（运动、质量）。

2. 径向膨胀部分 ($v_{rad}$)：对应于希尔伯特空间本身的扩张（暗能量流）。

根据奈马克扩张定理的几何直觉，如果我们试图在一个“共动参考系“（Comoving Frame，即我们在宏观上感知的静止参考系）中描述这一过程，我们需要引入一个 标度因子 (Scale Factor) $a(\tau )=e^{\lambda \tau }$。

修正后的容量恒等式写作：

$$v_{ext}^2(\tau )+v_{int}^2(\tau )+v_{env}^2(\tau )=C^2(\tau )-\mathcal{K}(\tau )$$

其中 $\mathcal{K}(\tau )$ 是 膨胀曲率项。

如果我们将方程两边同时除以标度因子的平方 $a^2(\tau )$，以获得我们观测到的“重整化“物理量 $\tilde{v}=v/a(\tau )$：

$$v_{ext}^2+v_{int}^2+{\tilde{v}}_{env}^2=c_0^2-\frac{\mathcal{K}(\tau )}{e^{2\lambda \tau }}$$

A.3 暗能量的几何推导

现在我们来分析这个残差项。

在标准宇宙学中，弗里德曼方程包含一个宇宙学常数 $\Lambda$。在我们的几何模型中，这一项直接源于 $C(\tau )$ 的增长率与系统实际演化率之间的 滑移 (Slippage)。

如果系统的演化完全跟上了膨胀（即红皇后竞赛中的完美奔跑），则物理定律看起来是守恒的。但如果存在微小的失配，就会产生一个非零的背景流。

我们将 有效暗能量密度 ${\rho }_{DE}$ 定义为单位体积内的额外预算流：

$${\rho }_{DE}\propto \frac{d}{d\tau }C(\tau )-\text{Tr}(\text{Matter Flux})$$

代入指数增长模型，我们得到：

$${\rho }_{DE}\approx {\lambda }^2{c}_0^2$$

这是一个惊人的结果：暗能量密度正比于维度膨胀率 $\lambda$ 的平方。

• 它不是真空的零点能（那会导致 $10^{120}$ 倍的误差）。

• 它是 几何增长的加速度。

这意味着，所谓的“斥力“其实是一种 惯性力。就像你在加速的汽车里会感到被推向椅背一样，我们在一个加速膨胀的希尔伯特空间里，感到了星系被“推开“。那不是力，那是参考系的 非惯性膨胀。

A.4 稀释与幸存方程

最后，我们推导物质权重的衰减方程。

设一个粒子（如质子）的内部结构维持速度为 $v_{int}^{proton}$。如果它保持静止（不进化），则 $v_{int}^{proton}$ 是常数。

其在宇宙总预算中的 相对权重 (Ontological Weight) $W$ 为：

$$W(\tau )=\frac{v_{int}^{proton}}{C(\tau )}=\frac{v_{int}^{proton}}{c_0}{e}^{-\lambda \tau }$$

这给出了物质衰变的半衰期预言。当 $W(\tau )$ 降至普朗克尺度的量子涨落水平（即 $W\sim 1/\sqrt{D}$）时，粒子将无法与背景噪音区分，从而发生 解体 (Dissolution)。

要避免解体，系统必须使自身的 $v_{int}$ 随时间增长：

$$\frac{{\dot{v}}_{int}}{v_{int}}\ge \lambda$$

这就是 “进化不等式”。它在数学上严格证明了：在螺旋宇宙中，只有指数级增长的复杂度（生命/文明），才拥有长期的本体论地位。