附录 E：Fubini-Study 距离与泛化力场

(Fubini-Study Distance and Generalized Force)

本附录将正文中“力是距离的梯度“形式化为变分原理。

在射影希尔伯特空间 $\mathbb{P}(\mathcal{H})$ 中，两点 ${\psi }_1,{\psi }_2$ 间的 Fubini-Study 距离定义为：

$$D_{FS}({\psi }_1,{\psi }_2)=\arccos |⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩|$$

定义广义势能 $V$ 为当前状态与目标状态（如真空态或真我轨道）之间的几何距离函数：

$$V(\psi )\propto D_{FS}^2(\psi ,{\psi }_{target})$$

系统的演化遵循几何变分原理 $\delta S_{geo}=0$，导致动力学方程：

$$\frac{d\psi }{d\tau }=-k{\nabla }_{FS}V(\psi )\text{(E.1)}$$

其中 ${\nabla }_{FS}$ 是流形上的协变梯度。这一方程统一了物理学中的耗散运动（滑向低势能）和心理学中的目的论行为（趋向目标状态）。