附录 B：开放宇宙动力学——信息容量增长与红皇后博弈的数学模型

本附录为第九章“拒绝热寂“和第十二章“没有终点“提供动力学证明。我们将构建一个耦合方程组，描述宇宙容量、熵与智能体复杂度随时间的演化。

B.1 动态贝肯斯坦界限 (Dynamic Bekenstein Bound)

考虑一个由暗能量 $\Lambda$ 主导的膨胀宇宙。

虽然事件视界是固定的，但对于计算宇宙学而言，更有意义的是共动体积内的计算节点数（QCA 格点数） $N(t)$。

在 QCA 膨胀模型（加点模型）中：

$$N(t)\propto a(t{)}^3\propto e^{3Ht}$$

其中 $H=\sqrt{\Lambda /3}$ 是哈勃常数。

宇宙的潜在信息容量上限 $I_{max}(t)$ 随 $N(t)$ 增长：

$$I_{max}(t)\sim N(t)\sim e^{3Ht}$$

B.2 熵产生的限制

宇宙中的已用信息量（熵） $S(t)$ 主要来源于物质粒子的退相干和黑洞辐射。

由于物质总量守恒（或增长慢于体积），且计算过程受光速限制（Bremermann Limit）：

$$\frac{dS}{dt}\le \frac{E_{total}}{\hslash }\cdot N_{particles}$$

在稀疏宇宙中，$S(t)$ 的增长至多是线性的或多项式的，远低于 $I_{max}(t)$ 的指数增长。

推论 B.1（无限空白定理）：

$$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{S(t)}{I_{max}(t)}=0$$

宇宙的**占空比（Filling Ratio）**趋于零。这意味着宇宙永远是“崭新“的，热寂（$S\to I_{max}$）在数学上是不可能的。

B.3 红皇后博弈方程

我们用 Lotka-Volterra 方程 的变体来描述智能体（$A$）与环境熵（$E$）的博弈。

• 智能体的复杂度（$C$）：代表 $M_I$。

• 环境熵压力（$P$）：代表生存难度。

$$\{\begin{array}{ll}\frac{dC}{dt}=\alpha C\cdot P-\beta C^2& (\text{压力驱动进化，但受限于代谢成本})\\ \frac{dP}{dt}=\gamma C-\delta P& (\text{智能活动产生废热增加压力，膨胀稀释压力})\end{array}$$

• $\alpha CP$：红皇后项。环境越恶劣（$P$ 大），为了生存，智能体进化越快。

• $\gamma C$：兰道尔废热项。智能越高，排放的熵越多，反过来推高 $P$。

• $-\delta P$：宇宙膨胀项。空间的快速膨胀稀释了废热。

相平面分析：

在 $\delta$（膨胀率）足够大的情况下，该系统不存在稳定的不动点（死寂），而是形成极限环（Limit Cycle）或永恒发散的螺旋。

结论：

只要宇宙膨胀（$\delta >0$）能够及时带走废热，智能体就可以通过不断的军备竞赛（$\alpha ,\gamma$ 循环），实现复杂度的无限指数增长。

文明的永生，建立在宇宙膨胀的基础之上。