附录 A：审美计算学——基于柯尔莫哥洛夫复杂度的审美度量公式

在本书第四章和第八章中，我们提出“审美是通向真理的启发式向导“。本附录旨在给出一个定量的数学框架，解释为什么某些结构（如分形、物理定律、艺术品）会被意识网络判定为“美“。

A.1 审美度量的困境

传统的香农熵（Shannon Entropy）无法度量美。

• 晶体（低熵）：$S\to 0$。完全有序，但枯燥。

• 白噪声（高熵）：$S\to max$。完全随机，但无意义。

美似乎存在于“有序“与“无序“之间的某个临界区域。

A.2 伯克霍夫-贝内特公式 (Birkhoff-Bennett Formula)

乔治·伯克霍夫（George Birkhoff）曾提出 $M=O/C$（美度 = 秩序/复杂度）。在计算理论中，我们将其升级为基于柯尔莫哥洛夫复杂度 ($K$) 和 逻辑深度 ($D$) 的公式。

设对象 $X$ 的描述为二进制串。

• $K(X)$：生成 $X$ 的最短程序的长度（压缩后的信息量）。

• $D(X)$：运行该最短程序以输出 $X$ 所需的逻辑步数（计算时间）。

定义 A.1（审美价值函数 $\mathcal{A}$）：

$$\mathcal{A}(X)=\frac{\mathcal{D}(X)}{K(X)}\times \text{Resonance}(X,{\mathcal{M}}_{observer})$$

1. 简洁性收益 ($1/K$)：

   我们的大脑偏好高压缩率。如果一个复杂的现象 $X$ 可以被一条简短的定律（如 $F=ma$）解释，大脑会节省巨大的存储能量，产生“优雅感“。

   • 例子：分形之所以美，是因为生成它的代码 $z\to z^2+c$ 极其短（$K$ 小），但生成的图像无限丰富。

2. 深刻性收益 ($D$)：

   如果一个对象虽然代码短，但解压过程极其平庸（如打印 100 万个 “A”），它是无聊的。

   只有当解压过程涉及非平凡的计算（如生命演化、故事的起承转合），它才具有逻辑深度。

   • 例子：一块经过亿万年冲刷的太湖石，其形态蕴含了漫长的流体力学计算历史（$D$ 大）。

3. 共振修正：

   $\text{Resonance}$ 项取决于观察者的内部模型 $\mathcal{M}$。只有当对象 $X$ 的拓扑结构与观察者的心智结构发生**同调（Homology）**时，审美才会被激活。

结论：

美 = 用最少的比特，封装最漫长的历史。