附录 B：量子速度极限的几何推导 (Appendix B: Geometric Derivation of Quantum Speed Limits)

在正文的第 2 章“速度的贫困“和第 10 章“熵限速公理“中，我们反复利用了一个核心结论：系统的演化速度受限于其能量（或生成元）的方差。物理变化不能无限快地发生，它受到严格的 量子速度极限 (Quantum Speed Limits, QSL) 的制约。

本附录将基于 Fubini-Study 几何，给出这些速度极限的严格数学推导。我们将证明，曼德尔斯坦-塔姆 (Mandelstam-Tamm) 类型的界限不仅仅是能量-时间不确定性原理的体现，更是黎曼几何中“两点之间直线最短“这一公理的直接推论。

B.1 从方差到距离

考虑一个由参数 $λ$ （可以是任意物理时间参数）描述的量子演化过程。其状态矢量 $∣ ψ (λ)⟩$ 遵循广义薛定谔方程：

$\frac{d}{d λ} ∣ ψ (λ)⟩ = - i K (λ) ∣ ψ (λ)⟩$

其中 $K (λ)$ 是驱动演化的自伴算符（生成元）。

根据附录 A 的结论，沿此轨迹的瞬时 FS 速度严格等于生成元的标准差：

$v_{FS}^{(λ)} = Δ K (λ) = ⟨ K^{2} ⟩ - ⟨ K ⟩^{2}$

我们要计算从参数 $λ_{0}$ 到 $λ_{1}$ 期间，系统在射影希尔伯特空间中走过的 FS 路径长度 (FS Length)。这可以通过对速度进行积分得到：

$L_{FS} (λ_{0}, λ_{1}) = \int_{λ_{0}}^{λ_{1}} v_{FS}^{(λ)} d λ = \int_{λ_{0}}^{λ_{1}} Δ K (λ) d λ$

在黎曼几何中，连接两点 $[ψ (λ_{0})]$ 和 $[ψ (λ_{1})]$ 的最短路径是测地线。因此，系统实际走过的路径长度 $L_{FS}$ 必然大于或等于这两点之间的 FS 距离 (FS Distance) $d_{FS}$ ：

$d_{FS} ([ψ (λ_{0})], [ψ (λ_{1})]) \leq \int_{λ_{0}}^{λ_{1}} Δ K (λ) d λ$

如果假设在整个演化过程中，生成元的方差有一个最大值 $Δ K_{ma x}$ ，我们就可以将积分放大，得到一个简单的不等式：

$d_{FS} \leq Δ K_{ma x} \cdot ∣ λ_{1} - λ_{0} ∣$

重新排列这个公式，我们得到了关于时间间隔的下界：

$∣ λ_{1} - λ_{0} ∣ \geq \frac{d _{FS} ([ ψ ( λ _{0} )] , [ ψ ( λ _{1} )])}{Δ K _{ma x}}$

这就是著名的 量子速度极限 (QSL) 的无参数几何形式。

它告诉我们：要让一个量子系统改变其状态（即走过距离 $d_{FS}$ ），必须消耗一定的“方差资源“ ( $Δ K$ ) 和“时间资源“ ( $∣ λ_{1} - λ_{0} ∣$ ) 的乘积。 如果系统的能量方差很小（“贫穷”），它就必须花费漫长的时间才能完成演化。

现在，我们将这个不等式应用到 《矢量宇宙论》 的核心架构中。

引入 内禀时间 $τ$ 的定义，即选择参数使得 FS 速度恒定为宇宙总预算 $c_{FS}$ ：

$∣∣ \partial_{τ} ψ (τ) ∣ ∣_{FS} = c_{FS}$

利用链式法则 $d τ / d λ = v_{FS}^{(λ)} / c_{FS}$ ，我们可以建立任意物理时间参数 $λ$ （如实验室时间 $t$ ）与内禀时间 $τ$ 之间的严格换算关系：

$d λ = \frac{c _{FS}}{Δ K ( λ )} d τ$

积分这个关系式，我们得到两个时间流逝量的联系：

$λ_{1} - λ_{0} = \int_{τ_{0}}^{τ_{1}} \frac{c _{FS}}{Δ K ( λ ( τ ))} d τ$

这个积分公式是全书所有“时间相对性“现象的数学根源。

时间膨胀：如果 $Δ K$ （例如内部质量能隙）变小，分母变小，为了走完同样的内禀距离 $d τ$ ，所需的外部时间 $d λ$ 就会变大（时间膨胀）。
光子的永恒：对于光子， $Δ K \to 0$ （在质量扇区），这意味着 $d λ \to \infty$ 。即在其自身坐标系中有限的一瞬间，对应了外部世界无限长的时间。

通过这个推导，我们证明了相对论效应并不是时空背景的弯曲，而是系统在 “方差-时间“交易市场 中遵循几何守恒律的必然结果。