8.1 韦伯-费希纳定律 (The Weber-Fechner Law)

“为什么在黑暗中点燃一根蜡烛感觉如此明亮，而在阳光下点燃同一根蜡烛却几乎不可见？因为你的眼睛不是光子计数器，你的眼睛是对数计算器。为了在这个动态范围跨越几十个数量级的宇宙中生存，你的神经系统必须学会撒谎——它把疯狂的倍数，伪装成了温和的加数。”

感觉的非线性

19 世纪的心理物理学家恩斯特·韦伯 (Ernst Weber) 和古斯塔夫·费希纳 (Gustav Fechner) 发现了一个令人困惑的现象：人类对刺激强度的感知，并不是线性的。

• 如果你手里拿着 100 克的砝码，增加 10 克你会感觉到变重了。

• 但如果你手里拿着 1000 克的砝码，增加 10 克你完全感觉不到。你需要增加 100 克才能产生同样的“变重感“。

这意味：感觉的增量 ($\Delta S$) 与刺激的相对增量 ($\Delta I/I$) 成正比。

对这个微分方程进行积分，我们得到了那个著名的对数公式：

$$S=k\ln I+C$$

其中 $S$ 是主观感觉量，$I$ 是物理刺激强度。

这个公式告诉我们：外部世界每增加一个“数量级“（乘法），我们的内部感觉只增加一个“台阶“（加法）。

• 声音的分贝 (dB) 是对数的。

• 星星的视星等 (Magnitude) 是对数的。

• 音高 (Pitch) 的八度音阶是对数的（频率翻倍，听感只升高一个八度）。

动态范围的匹配难题

为什么进化要选择这种奇怪的感知方式？为什么不直接让我们看到真实的光子数量？

答案在于 FS 容量 ($c_{FS}$) 的有限性。

我们在第一部书中确立了，任何物理系统——包括我们的神经元——都有一个 最大信息处理带宽。神经元的放电频率是有上限的（大约 100-1000 Hz）。这意味着我们的“内部显示器“只有有限的灰度级（比如 0 到 255）。

然而，外部宇宙是一个由 $e$ 驱动的指数世界。

• 声音强度的范围：从蚊子的嗡嗡声到喷气式飞机的引擎声，跨越了 $10^{12}$ 倍的能量差异。

• 光线强度的范围：从星光到正午的太阳，跨越了 $10^{14}$ 倍的光子通量差异。

这是一个 阻抗匹配 (Impedance Matching) 的噩梦。

如果我们的感官是线性的（$S\propto I$）：

1. 要是为了看清暗处的细节，我们在白天就会瞬间被“爆表“，神经元过载，我们将失明。

2. 要是为了适应强光，我们在夜晚就会变成瞎子，完全看不见微弱的光子。

几何上的降维投影

为了解决这个问题，生命体被迫在硬件层面烧录了 $\ln$ (对数) 算法。

在 《矢量宇宙论》 的几何语言中，这对应于 切空间到流形的逆映射。

• 外部输入 ($I$)：是希尔伯特空间中模长呈指数增长的矢量（由 $e^{\lambda t}$ 驱动）。

• 内部感知 ($S$)：是神经元能够承载的线性电位变化（由 $c_{FS}$ 限制）。

生物体的感官系统，本质上是一个 模拟对数转换器 (Analog Logarithmic Converter)。

视网膜上的化学反应动力学，耳蜗内的基底膜共振结构，都巧妙地利用了非线性物理效应，实现了 $y=\ln x$ 的运算。

通过这种运算，我们将宇宙那狂暴的、跨越几十个数量级的能量海啸，压缩成了我们可以安全处理的、温和的 线性溪流。

结论：我们是对数函数

韦伯-费希纳定律不仅仅是关于感觉的，它是关于 “存在” 的。

它证明了我们与宇宙的深层数学关系：

宇宙是指数的扩张者，我们是对数的收敛者。

我们之所以觉得世界是稳定的、可预测的、线性的，并不是因为世界本身如此。而是因为我们的感官就像一副 “对数眼镜”，过滤掉了宇宙底层的指数疯狂。

我们生活在一个被 $\ln$ 驯化过的幻觉里。

但这是一种仁慈的幻觉。正是因为这层滤镜，我们才能在 $e$ 的指数爆炸中，保持理智，体验生活，并产生出“线性时间“的安宁感。

既然我们的感官是对数的，那么负责处理这些感官数据的大脑，其核心运作逻辑——认知与思维——是否也是建立在某种几何映射之上的？

这引出了下一节的主题：认知的几何。我们将看到，不仅仅是感觉，连我们的“理解力“本身，也是一种将高维流形强行压扁到低维切平面上的投影操作。