3.1 伟大的权衡

伟大的权衡

(The Great Trade-off)

如果我问你，谁统治着宇宙？你可能会回答是引力，是量子场，或者是热力学第二定律。但在我们的几何重构中，宇宙真正的统治者是一个生活在 2500 年前的古希腊人——毕达哥拉斯。

或者更准确地说，是他所发现的那个关于直角三角形的真理： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 。

在学校里，我们学习勾股定理是为了计算梯子的长度或土地的面积。但在物理学的深处，勾股定理扮演着更惊人的角色：它决定了时间和空间如何分配宇宙的“存在预算“。

全书唯一的图腾

让我们回到那个静默的希尔伯特空间。正如我们在公理 A1 中所确立的，宇宙的状态向量 $ψ$ 正在以一个恒定的总速率 $c$ 演化。这就好比一辆汽车，油门被焊死到底，仪表盘上的速度指针永远指在最大值 $c$ 上。

但这辆车并不是在高速公路上直线行驶，它是在一个多维的空间里行驶。作为观察者，我们在这个多维空间里画了一个十字坐标系，将这个总速度 $c$ 分解成了两个垂直的方向：

现在，奇迹发生了。

因为总速度 $c$ 是恒定不变的（这是一根长度固定的箭），无论这根箭指向哪个方向，它在横轴上的投影长度平方，加上在纵轴上的投影长度平方，必须等于总长度的平方。

于是，我们得到了本书中唯一需要你记住的公式，也是统摄狭义相对论的最高法则：

$v_{e x t}^{2} + v_{in t}^{2} = c^{2}$

这就是伟大的权衡。

这个公式极其简单，但它包含了一个震撼人心的物理真理：宇宙是一个零和博弈。

在牛顿的宇宙里，时间和空间是互不相干的。你可以以任意速度在空间中飞行（ $v_{e x t}$ 可以无限大），同时你的怀表可以照常滴答作响（ $v_{in t}$ 保持不变）。那是一个资源无限的宇宙。

但在爱因斯坦的宇宙里——或者说在我们这个受限于带宽 $c$ 的计算宇宙里——你不能同时拥有这两者。

看看那个公式。 $c$ 是锁死的常数。如果你想增加 $v_{e x t}$ （跑得更快），数学迫使你必须减小 $v_{in t}$ （内部演化变慢）。

当你静止时 ( $v_{e x t} = 0$ )：所有的预算都流向了内部。 $v_{in t} = c$ 。你的手表走得最快，你的身体在经历着最纯粹的时间流逝。这叫做“固有时“。
当你开始奔跑时 ( $v_{e x t} > 0$ )：你必须从内部预算中挪用一部分资源给外部运动。 $v_{in t}$ 必然小于 $c$ 。你的时间流逝变慢了。
当你接近光速时 ( $v_{e x t} \to c$ )：几乎所有的预算都被用来购买空间距离。 $v_{in t}$ 被压缩到接近于零。你的动作变成了慢动作，你的时间近乎冻结。

这就是著名的时间膨胀（Time Dilation）效应。

在教科书里，时间膨胀通常是通过光钟、洛伦兹变换等复杂的推导展示的。但在我们的几何视角下，它不需要推导，它只是勾股定理的直接后果。它不是什么神秘的魔法，它是财务审计的结果：因为你把带宽都花在了“赶路“上，你就没有剩下的带宽来“生活“了。

物理学家喜欢用一个叫做“洛伦兹因子“ ( $γ$ ) 的东西来计算时间变慢了多少： $γ = 1/ 1 - v^{2} / c^{2}$ 。这个公式常常让初学者感到头晕。

但现在，请看一眼我们的三角形。

设想一个直角三角形，斜边是总预算 $c$ ，底边是空间速度 $v_{e x t}$ （也就是物理中的 $v$ ），高是内部速度 $v_{in t}$ 。

根据勾股定理： $v_{in t} = c^{2} - v_{e x t}^{2} = c 1 - v^{2} / c^{2}$ 。

如果我们把静止时的内部速度 ( $c$ ) 与运动时的内部速度 ( $v_{in t}$ ) 做个比值：

$\frac{c}{v _{in t}} = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} = γ$

看，那个令人生畏的洛伦兹因子，不过是斜边与直角边的比值。它只是几何投影中的正割函数（Secant）。

狭义相对论不再是关于光如何传播的理论，它是关于一个恒定长度的矢量如何在两个正交的维度之间旋转的几何学。爱因斯坦的质能方程、尺缩效应、钟慢效应，全都被折叠进了这个简单的直角三角形里。

我们生活在一个严格受限的宇宙中。这就是“伟大的权衡“教给我们的第一课：自由不是无限的，每一个在空间中迈出的步伐，都是对时间的一次微小谋杀。

那么，如果我们走到极致呢？如果我们把所有的预算全部孤注一掷地投入到 $v_{e x t}$ 中，彻底放弃 $v_{in t}$ ，会发生什么？

我们会变成光。

（下一节，我们将进入 3.2 节“光子的破产“，探讨那个极端的边界情况：一个完全没有时间的存在。）