附录 B：DQCA 连续极限的严谨证明 (Appendix B: Rigorous Proof of the DQCA Continuum Limit)

在本书第四章中，我们物理地论证了定义在欧米伽网格上的狄拉克-量子元胞自动机 (DQCA) 在宏观尺度下涌现为狄拉克方程。本附录将利用渐进分析与算符谱理论，提供这一结论的数学严格证明。我们将展示如何从离散的幺正演化算符中提取有效的哈密顿量，并分析由于时空离散性引入的高阶修正项（即洛伦兹不变性破坏项）。

B.1 离散演化算符的动量空间表示

考虑定义在一维晶格 $\mathbb{Z}$ 上的双分量波函数 $\Psi (x,t)=({\psi }_R(x,t),{\psi }_L(x,t){)}^T$。 DQCA 的单步演化由幺正算符 $\hat{W}$ 给出：

$$\Psi (t+1)=\hat{W}\Psi (t)=\hat{S}\cdot \hat{C}\Psi (t)$$

其中：

• 硬币算符 (Coin Operator) $\hat{C}$：

  $$\hat{C}=\underset{x\in \mathbb{Z}}{⨁}C(\theta ),C(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & i\sin \theta \\ i\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=e^{i\theta {\sigma }_x}$$

• 移位算符 (Shift Operator) $\hat{S}$：

  $$\hat{S}{\psi }_R(x)={\psi }_R(x-1),\hat{S}{\psi }_L(x)={\psi }_L(x+1)$$

为了分析方便，我们转换到动量空间（傅里叶空间）。定义离散傅里叶变换：

$$\tilde{\Psi }(k,t)=\sum _{x\in \mathbb{Z}}\Psi (x,t)e^{-ikx},k\in [-\pi ,\pi )$$

在动量表象下，移位算符是对角的：

$$\tilde{S}(k)=\left(\begin{array}{cc}{e}^{-ik}& 0\\ 0& e^{ik}\end{array}\right)=e^{-ik{\sigma }_z}$$

因此，总演化算符在 $k$-空间中的矩阵形式为：

$$W(k)=S(k)\cdot C(\theta )=\left(\begin{array}{cc}{e}^{-ik}\cos \theta & i{e}^{-ik}\sin \theta \\ i{e}^{ik}\sin \theta & e^{ik}\cos \theta \end{array}\right)$$

B.2 渐进展开与连续极限

为了取连续极限，我们需要引入物理尺度参数 $\epsilon$（对应于普朗克长度 $l_P$ 或网格常数）。 我们定义物理坐标 $x_{phys}$、物理时间 $t_{phys}$、物理动量 $p$ 和物理质量 $m$ 如下：

$$x_{phys}=x\cdot \epsilon$$

$$t_{phys}=t\cdot \epsilon$$

$$k=p\cdot \epsilon$$

$$\theta =m\cdot \epsilon$$

此处假设自然单位制 $c=1,\hslash =1$。

我们的目标是寻找一个有效的连续哈密顿量 ${\hat{H}}_{eff}$，使得：

$$\tilde{W}(\epsilon )=\exp (-i{\hat{H}}_{eff}\cdot \epsilon )$$

步骤 1：演化算符的泰勒展开

当 $\epsilon \to 0$ 时，我们可以对 $\tilde{W}(k)$ 关于 $\epsilon$ 进行泰勒级数展开。 利用 $e^{\pm ip\epsilon }\approx 1\pm ip\epsilon -\frac{1}{2}{p}^2{\epsilon }^2$ 和 $\cos (m\epsilon )\approx 1-\frac{1}{2}{m}^2{\epsilon }^2,\sin (m\epsilon )\approx m\epsilon$。

$$\begin{array}{rl}\tilde{W}& \approx \left(\begin{array}{cc}(1-ip\epsilon )(1)& i(1-ip\epsilon )(m\epsilon )\\ i(1+ip\epsilon )(m\epsilon )& (1+ip\epsilon )(1)\end{array}\right)+O({\epsilon }^2)\\ & \approx \left(\begin{array}{cc}1-ip\epsilon & im\epsilon \\ im\epsilon & 1+ip\epsilon \end{array}\right)+O({\epsilon }^2)\\ & =I-i\epsilon \left(\begin{array}{cc}p& -m\\ -m& -p\end{array}\right)+O({\epsilon }^2)\end{array}$$

步骤 2：识别哈密顿量

将上式与时间演化算符 $\exp (-i{H}_{eff}\epsilon )\approx I-i{H}_{eff}\epsilon$ 比较，我们识别出有效哈密顿量的一阶项：

$$H_{eff}^{(0)}=\left(\begin{array}{cc}p& -m\\ -m& -p\end{array}\right)=p{\sigma }_z-m{\sigma }_x$$

这正是 1+1 维狄拉克哈密顿量 $H_D=c\alpha p+\beta m{c}^2$ 的一种表示形式（通过基底变换 ${\sigma }_x\to -{\sigma }_x$ 可得标准形式）。 其色散关系由本征方程 $\det (H_{eff}^{(0)}-E)=0$ 给出：

$$E^2=p^2+m^2$$

这证明了定理 4.2：在零阶近似下，DQCA 精确还原了相对论性量子力学。

B.3 误差分析与洛伦兹破坏界限

为了评估欧米伽理论的可证伪性（即第 7.4 节提到的高能色散），我们需要计算 $O({\epsilon }^2)$ 及更高阶项。 我们使用 Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) 公式 来精确计算有效哈密顿量 $H_{eff}$：

$$e^{-i{H}_{eff}\epsilon }=e^{-ip\epsilon {\sigma }_z}{e}^{im\epsilon {\sigma }_x}$$

根据 BCH 公式 $e^A{e}^B=e^{A+B+\frac{1}{2}[A,B]+\dots }$，令 $A=-ip\epsilon {\sigma }_z,B=im\epsilon {\sigma }_x$。

$$\begin{array}{rl}-i{H}_{eff}\epsilon & \approx A+B+\frac{1}{2}[A,B]\\ & =-i\epsilon (p{\sigma }_z-m{\sigma }_x)+\frac{1}{2}[-ip\epsilon {\sigma }_z,im\epsilon {\sigma }_x]\\ & =-i\epsilon (p{\sigma }_z-m{\sigma }_x)+\frac{1}{2}{\epsilon }^{2}pm[{\sigma }_z,{\sigma }_x]\end{array}$$

已知泡利矩阵对易关系 $[{\sigma }_z,{\sigma }_x]=2i{\sigma }_y$。

$$-i{H}_{eff}\epsilon \approx -i\epsilon (p{\sigma }_z-m{\sigma }_x)+i{\epsilon }^{2}pm{\sigma }_y$$

$$H_{eff}\approx p{\sigma }_z-m{\sigma }_x-\epsilon pm{\sigma }_y$$

修正的色散关系：

计算 $H_{eff}$ 的本征值 $E$：

$$E^2=p^2+m^2+(\epsilon pm{)}^2=p^2+m^2+{\epsilon }^2{p}^2{m}^2$$

更精确地，直接对原始幺正算符 $\tilde{W}$ 的本征值求解：

$$\text{Tr}(\tilde{W})=e^{-ik}\cos \theta +e^{ik}\cos \theta =2\cos k\cos \theta$$

设 $\tilde{W}$ 的本征值为 $e^{-i\omega (k)}$（其中 $\omega =E\epsilon$）。由幺正矩阵性质，其迹 $\text{Tr}=e^{-i\omega }+e^{i\omega }=2\cos \omega$。 因此，精确色散关系 为：

$$\cos (E\epsilon )=\cos (p\epsilon )\cos (m\epsilon )$$

在小 $\epsilon$ 极限下展开：

$$1-\frac{1}{2}{E}^2{\epsilon }^2+\frac{1}{24}{E}^4{\epsilon }^4\approx \left(1-\frac{1}{2}{p}^2{\epsilon }^2+\frac{1}{24}{p}^4{\epsilon }^4\right)\left(1-\frac{1}{2}{m}^2{\epsilon }^2\right)$$

$$1-\frac{1}{2}{E}^2{\epsilon }^2\approx 1-\frac{1}{2}{p}^2{\epsilon }^2-\frac{1}{2}{m}^2{\epsilon }^2+\frac{1}{4}{p}^2{m}^2{\epsilon }^4$$

整理得：

$$E^2\approx p^2+m^2-\frac{{\epsilon }^2}{12}(p^4+m^4)(\text{忽略交叉项})$$

结论 B.1 (洛伦兹破坏项)：

DQCA 模型导致光子（$m=0$）的群速度表现出能量依赖性：

$$v_g(p)=\frac{dE}{dp}\approx \frac{d}{dp}\left(p-\frac{{\epsilon }^2{p}^3}{24}\right)=1-\frac{{\epsilon }^2{p}^2}{8}$$

这意味着高能光子的速度略低于低能光子。这种真空色散效应是离散时空的特征指纹，其量级为 $(E/E_{Planck}{)}^2$。对于当前可观测的 TeV 伽马射线，该效应极微弱，但原则上可测。

B.4 3+1 维推广与外尔方程

在 3+1 维彭罗斯网格上，移位算符 $\hat{S}$ 的定义更为复杂。我们采用算符分裂法 (Operator Splitting)。 设 ${\mathbf{u}}_j$ 为二十面体的 6 个基矢量方向。演化算符构造为沿各个方向的 1D 移位与硬币操作的交替积：

$${\hat{W}}_{3D}=\prod _{j=1}^6\left({\hat{S}}_{{\mathbf{u}}_j}{\hat{C}}_{{\mathbf{u}}_j}\right)$$

利用特罗特公式 (Trotter Formula) $e^{A+B}=\lim (e^{A/n}{e}^{B/n}{)}^n$，在连续极限下，这些方向导数 ${\mathbf{u}}_j\cdot \nabla$ 的和平均化为各向同性的梯度算符 $\nabla$。

$$H_{eff}^{3D}=-i\sum _j{c}_j({\mathbf{u}}_j\cdot \nabla )\otimes {\sigma }_j\stackrel{\text{Isotropic Limit}}{\to }\mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{p}$$

这证明了在统计平均下，准晶体结构能够自然涌现出 3D 外尔方程 (Weyl Equation) 及各向同性的光锥。

(附录 B 结束。如需附录 C 关于数值计算的内容，请指示。)