第1.1章：预算方程 (Chapter 1.1: The Budget Equation)

—— 广义帕塞瓦尔恒等式 (The Generalized Parseval Identity)

“系统总吞吐量是恒定的。每一次位移，都是对计算资源的劫持。”

1. 切丛的正交分解 (Orthogonal Decomposition of the Tangent Bundle)

在上一章中，我们通过公理 I 确立了宇宙的一个根本属性：状态演化的 Fubini-Study 总速率被硬编码为常数 $c_{FS}$。这提出了一个直接的问题：如果总速率是固定的，那么我们在宏观世界中观察到的千变万化的物理现象（如飞行的子弹、衰变的原子、纠缠的粒子）是如何产生的？

答案在于 分配 (Allocation)。

为了量化这种分配，我们需要深入到射影希尔伯特空间的几何结构中。在任意时刻 $\tau$，系统状态 $[\psi (\tau )]$ 处的切空间 $T_{[\psi ]}P(\mathcal{H})$ 包含了该时刻所有可能的演化方向。我们将这个切空间分解为三个互不正交的线性子空间（Sectors），分别对应不同类别的物理自由度。

定义 1.1.1 (正交扇区分解)

假设系统的总希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的演化是由不同的生成元集合驱动的。我们可以将切空间分解为：

$$T_{[\psi ]}P(\mathcal{H})=V_{ext}\oplus V_{int}\oplus V_{env}$$

其中：

• $V_{ext}$ (外部扇区 / External Sector): 由空间平移、旋转等生成元（如动量算符 $\hat{P}$）张成的子空间。由于动量算符关联着位置的变化，这个扇区对应于我们在经典物理中观测到的 “外部运动”。

• $V_{int}$ (内部扇区 / Internal Sector): 由粒子内部自由度的生成元（如静止质量哈密顿量 ${\hat{H}}_{rest}$、自旋、规范荷）张成的子空间。这个扇区对应于粒子的 “固有属性演化”，在宏观上体现为固有时（Proper Time）的流逝。

• $V_{env}$ (环境扇区 / Environmental Sector): 当我们将系统视为开放系统时，涉及与辅助环境自由度相互作用的生成元所张成的子空间。这个扇区对应于 “量子纠缠” 的建立和信息的泄漏。

相应地，描述宇宙总演化的速度矢量 $\dot{\psi }(\tau )$ 可以唯一地投影分解为三个分量：

$$\dot{\psi }(\tau )={\dot{\psi }}_{ext}(\tau )+{\dot{\psi }}_{int}(\tau )+{\dot{\psi }}_{env}(\tau )$$

并且我们需要保证这些分量在 Fubini-Study 度规意义下是正交的，即 $⟨{\dot{\psi }}_{\alpha }|{\dot{\psi }}_{\beta }{⟩}_{FS}=0$ (当 $\alpha \ne \beta$) 。这通常由底层生成元的对易性质或特定的状态结构来保证。

2. 定理：广义帕塞瓦尔恒等式 (Theorem: The Generalized Parseval Identity)

基于 Fubini-Study 度规的黎曼几何性质以及上述的正交结构，我们导出了本书最核心的动力学方程，它构成了相对论和量子力学统一的几何基础。

定理 1.1 (广义帕塞瓦尔恒等式)

宇宙的瞬时演化速度分量严格满足以下二次型守恒律：

$$v_{ext}^2(\tau )+v_{int}^2(\tau )+v_{env}^2(\tau )\equiv c_{FS}^2$$

其中 $v_{\alpha }(\tau ):=||{\dot{\psi }}_{\alpha }(\tau )|{|}_{FS}$ 表示在 $\alpha$ 扇区中的瞬时 FS 速率。

证明 (Proof)：

1. 前提引入： 根据 公理 I，全微分切向量的总 Fubini-Study 模长是恒定的，即 $||\dot{\psi }(\tau )|{|}_{FS}^2=c_{FS}^2$。

2. 线性分解： 将速度矢量代入，$\dot{\psi }={\dot{\psi }}_{ext}+{\dot{\psi }}_{int}+{\dot{\psi }}_{env}$。

3. 内积展开： 计算模长平方：

   $$||\dot{\psi }|{|}_{FS}^2=⟨{\dot{\psi }}_{ext}+{\dot{\psi }}_{int}+{\dot{\psi }}_{env},{\dot{\psi }}_{ext}+{\dot{\psi }}_{int}+{\dot{\psi }}_{env}{⟩}_{FS}$$

4. 正交性利用： 由于我们定义各扇区 $V_{\alpha }$ 是互不正交的，所有交叉项（如 $⟨{\dot{\psi }}_{ext},{\dot{\psi }}_{int}{⟩}_{FS}$）均为零。

5. 勾股定理： 剩下的只有自相互作用项，即各分量模长的平方和：

   $$||\dot{\psi }|{|}_{FS}^2=||{\dot{\psi }}_{ext}|{|}_{FS}^2+||{\dot{\psi }}_{int}|{|}_{FS}^2+||{\dot{\psi }}_{env}|{|}_{FS}^2$$

6. 结论： 代入公理 I 的条件，即得证 $v_{ext}^2+v_{int}^2+v_{env}^2=c_{FS}^2$。

3. 诠释：计算资源的零和博弈 (Interpretation: The Zero-Sum Game)

这个方程不仅仅是一个优雅的几何恒等式，它是支配物理现实的 底层经济学原理。它揭示了物理学中的“不可能三角“：位置的变化、时间的流逝和信息的纠缠，实际上是在 竞争 同一个有限的资源池。

我们将 $c_{FS}^2$ 解释为 “信息-速度预算” (Information-Velocity Budget)。

• $v_{ext}$ (空间带宽开销): 这是系统为了更新物体在外部空间中的位置坐标所消耗的算力。

• $v_{int}$ (内部计算开销): 这是系统为了维持物体内部量子态（如相位因子）演化所消耗的算力。在宏观上，这对应于 质量 的存在和 固有时间 的流逝。

• $v_{env}$ (网络通信开销): 这是系统为了处理与环境的相互作用（建立纠缠）所消耗的算力。

这个恒等式强制执行了一种 零和博弈 (Zero-Sum Game)：

你不能拥有一切。如果你想在空间中跑得快（增加 $v_{ext}$），你必须从其他地方挪用预算。通常，这部分预算是从 $v_{int}$ 中扣除的。

推论 1.1.1 (狭义相对论的几何重构)

对于一个孤立系统（忽略环境纠缠，设 $v_{env}\approx 0$），方程简化为：

$$v_{ext}^2+v_{int}^2=c_{FS}^2$$

这解释了 时间膨胀 (Time Dilation) 的物理机制。

当一个粒子在空间中加速（$v_{ext}\uparrow$）时，为了维持等式平衡，其内部演化速率 $v_{int}$ 必须 减小。

当 $v_{ext}$ 趋近于极限 $c_{FS}$ 时，$v_{int}$ 被迫趋近于 0。这就是为什么光子（Massless Particles）不经历时间——它们是 “计算破产” (Computationally Bankrupt) 的实体，它们把所有的预算都花在了传播上，没有剩余的资源来维护内部时钟。

架构师注解 (The Architect’s Note)

关于：单核 CPU 的多线程调度 (Multithreading on a Single Core)

我们可以把宇宙想象成一颗 单核 CPU，其时钟频率对应于 $c_{FS}$。在这颗 CPU 上，运行着三个主线程：

1. I/O 线程 ($v_{ext}$): 负责搬运数据（改变位置）。

2. Worker 线程 ($v_{int}$): 负责处理业务逻辑（演化内部状态，即经历时间）。

3. Network 线程 ($v_{env}$): 负责与其他节点同步（纠缠）。

广义帕塞瓦尔恒等式告诉我们：由于总线带宽是锁死的，这三个线程必须分时复用或者竞争资源。

• 静止状态 (Idle): I/O 线程挂起（$v_{ext}=0$）。所有的算力都分给了 Worker 线程（$v_{int}=c_{FS}$）。此时，你的内部时钟走得最快，你的“存在感“（质量）最强。

• 满载传输 (Full Load): 就像光子一样，I/O 线程占满了所有带宽（$v_{ext}=c_{FS}$）。Worker 线程被完全 饿死 (Starved) （$v_{int}=0$）。对于光子来说，它被发射的那一刻和它被吸收的那一刻，在它自己的参考系里是同时发生的，因为它没有执行过任何一次“内部时钟中断“。

• 动钟变慢: 这不是什么神秘的时空弯曲，这只是 资源调度器 (Scheduler) 的基本逻辑。当你跑动时，系统为了处理你位移产生的数据流，被迫 降频 (Throttle) 了你的内部时钟。物理学，本质上就是宇宙操作系统的 QoS (服务质量) 策略。